ESTUDIO COMPARATIVO ENTRE EL MODELO DE HOGG Y EL MODELO DE BURMISTER

1. Introducción general

El análisis comparativo entre el modelo de Hogg (1938 y 1944) y el modelo de Burmister (1943 y 1945) permite entender dos enfoques fundamentales aplicados históricamente para modelar el comportamiento estructural de pavimentos flexibles: el primero, basado en el concepto de una placa delgada sobre una fundación elástica (Hogg); y el segundo, basado en la teoría de sistemas de capas con comportamiento elástico-lineal (Burmister). Ambos modelos han influido de manera significativa en el desarrollo de metodologías de diseño y evaluación estructural de pavimentos.

2. Modelo de Hogg (1938 y 1944)

2.1 Fundamentos teóricos

El modelo de Hogg representa al pavimento como una placa elástica delgada con rigidez a la flexión (D), apoyada sobre una fundación elástica que proporciona una reacción proporcional a las deflexiones verticales generadas por la carga aplicada. El modelo de Hogg se inspira en la hipótesis de un pavimento rígido sobre un suelo idealizado por resortes independientes característico de Winkler, pero planteando una respuesta elástica continua de la fundación.

2.2 Formulación matemática

Ecuación de equilibrio de la placa:

• D · ▽⁴w(r) = q (1)

Donde:

• D = Rigidez a la flexión de la placa [Nm]
• w(r) = Deflexión vertical en función de la coordenada radial r [m]
• q = Carga aplicada [Pa]

Solución general:

• w(r) = ∫₀^∞ A(λ) · J₀(λr) dλ (2)

Donde:

• A(λ) = Función determinada por las condiciones de frontera y carga
• J₀(λr) = Función de Bessel de primera especie y orden cero
• λ = Parámetro de separación de variables

2.3 Supuestos básicos

• La placa tiene comportamiento elástico-lineal a la flexión.
• La fundación es elástico-lineal de profundidad finita o infinita.
• No se consideran deformaciones unitarias significativas en la placa.
• La respuesta estructural es la deflexión vertical.

2.4 Aplicaciones históricas

El modelo ha sido aplicado en evaluación estructural de pavimentos flexibles desde los años 1970 por el equipo del Technion y Dr. M.S. Hoffman, integrado posteriormente en metodologías combinadas con Burmister y validado en el programa LTPP de EE.UU.

3. Modelo de Burmister (1943 y 1945)

3.1 Fundamentos teóricos

El modelo de Burmister considera un sistema multicapa con diferentes módulos de elasticidad y coeficientes de Poisson, en el que una o más capas de espesor finito se apoyan sobre una subrasante considerada como un medio elástico semiinfinito en profundidad. Propone soluciones para sistemas bicapa (1943) y tricapa (1945) bajo cargas estáticas distribuidas sobre una superficie circular.

3.2 Formulación matemática

Deflexión vertical:

• w(r,z) = A · J₀(λr) · e^(-λz) + B · Y₀(λr) · e^(-λz) (3)

Donde:

• A, B = Constantes determinadas por condiciones de frontera
• J₀(λr) = Función de Bessel de primera especie, orden cero
• Y₀(λr) = Función de Bessel de segunda especie, orden cero
• λ = Parámetro de separación de variables

Desplazamiento radial:

• u(r,z) = -(1/λ) · d[w(r,z)]/dr (4)

Donde:

• A, B = Constantes determinadas por condiciones de frontera
• J₀(λr) = Función de Bessel de primera especie, orden cero
• Y₀(λr) = Función de Bessel de segunda especie, orden cero
• λ = Parámetro de separación de variables

Desplazamiento radial:

• u(r,z) = -(1/λ) · d[w(r,z)]/dr (4)

Donde:

• u(r,z) = Desplazamiento radial
• λ = Parámetro de separación de variables

Deflexión central:

• w(0,0) = f(K,h/a) · (q · a / E₂) (5)

Donde:

• f(K,h/a) = Coeficiente de influencia
• K = Relación de módulos E₁ / E₂
• h = Espesor de la capa superior [m]
• a = Radio de carga [m]
• E₂ = Módulo de elasticidad de la subrasante [Pa]

3.3 Supuestos básicos

• Todos los materiales y la subrasante presentan comportamiento elástico-lineal.
• Capas con módulos y coeficientes de Poisson constantes.
• Consideración de deformaciones internas.

3.4 Aplicaciones históricas

Base teórica de métodos multicapa como BISAR, KENLAYER y WESLEA.

4. Cuadro comparativo

Aspecto	Modelo de Hogg	Modelo de Burmister
Fundamento	Placa delgada sobre Fundación elástico-lineal	Sistema multicapa elástico-lineal
Profundidad soporte	Infinita o finita	Fundación semi-infinita y capas finitas
Hipótesis	Losa con rigidez a la flexión sin deformaciones unitarias en el eje de aplicación de carga	Capas con módulos elásticos y Coef. de Poisson constantes
Matemática	Ecuación de flexión de la placa delgada	Elasticidad axisimétrica
Parámetros	Rigidez flexionante, no se requiere espesores	Módulos elásticos, Coef. De Poisson y espesores de las capas
Respuesta	Deflexión vertical	Deflexión, tensiones y deformaciones
Aplicaciones	Evaluación estructural (Módulo subrasante)	Diseño y retrocálculo
Ventajas	Simplicidad, pocos parámetros, no se requiere espesores de capas	Análisis completo de parámetros estructurales
Limitaciones	No se emplea para calcular esfuerzos ni deformaciones internas	Complejidad matemática, se requieren espesores de capas

5. Conclusiones generales

Ambos modelos representaron avances fundamentales que sentaron las bases para las técnicas modernas de diseño y evaluación de pavimentos. Hogg destaca por su simplicidad y Burmister por su capacidad de análisis integral. En la ingenieria vial práctica ambos métodos de complementan, facilitando el cálculo y su empleo en control de calidad y programas de mantenimiento.

6. Referencias bibliográficas

1. Hogg, A.H.A. (1938). “Equilibrium of a thin plate, symmetrically loaded, resting on an elastic foundation of infinite depth.” Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 34, pp. 89-97.
2. Hogg, A.H.A. (1944). “Equilibrium of a thin slab on an elastic foundation of finite depth.” Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 40, pp. 258-266.
3. Burmister, D. M. (1943). “The Theory of Stresses and Displacements in Layered Systems and Applications to the Design of Airport Runways.” Proceedings, Highway Research Board.
4. Burmister, D. M. (1945). “The General Theory of Stresses and Displacements in Layered Systems.” Proceedings, Highway Research Board.
5. Wiseman, G., Uzan, J., Hoffman, M.S., Ishai, I, y Livneh, M. (1977), “Simple Elastic Models for Pavement Evaluation Using Measured Surface Deflection Bowls”, Proceedings, Fourth International Conference on the Structural Design of Asphalt Pavements, Volume II.
6. FHWA. Review of the Long-Term Pavement Performance Backcalculation Results-Final Report. Publication No. HRT-05-150. February 2006.